ÖZET Bu tez çalışmasının amacı belli formadaki lineer olmayan bazı impalsif diferansiyel ve integro-diferansiyel denklemlerin impalsif üstel kararlılık problemlerini ele almaktadır. Mevcut tezde iki matematiksel model ele alınmaktadır. Literatürde mevcut bulunan bir çalışmadaki denklenmelerin daha genel modelleri ele alınmaktadır ve söz konusu çalışmadaki sonuçlar genleştirilmektedir. Çalışmanın amaçlarına ulaşmak için temel araç olarak iki yeni Lyapunov – Krasovskiĭ tanımlanmaktadır. Buna bağlı olarak da sonuçların ispatlanmasında Lyapunov – Krasovskiĭ fonksiyonel metodu uygulanmaktadır. Bu tez çalışması altı bölümden oluşmaktadır. Tezin birinci bölümü ”Giriş” başlığı altında verilmektedir. Bu bölümde impalsif diferansiyel denklemlerin oraya çıkışı, tarihsel gelişimi, bu denklemlerin uygulamalardaki önemi, tezde ele alınacak problemler ve kullanılacak yöntem hakkında kısa bazı bilgiler verilmektedir. Tezin ikinci bölümü ise “Kaynak Bildirişleri” başlığı altında düzenlenmektedir. Tezin ikinci bölümünde, tez konusu ile ilgili literatürde yapılmış bulunan bazı bilimsel çalışmalar ve temel kitaplar verilmektedir. Tezin üçüncü bölümün de bu tezde kullanılacak olan materyal ve yöntem verilmektedir. Tezin 4.bölümünde ise impalsif diferansiyel ilgili bazı temel tanımlar, çözümlerin varlığı ve tekliği ile ilgili bazı teoremler ve temel bilgiler verilmektedir. Tezin beşinci bölümünde ise, ikinci basamaktan çoklu sabit gecikmeli lineer olmayan bir impalsif diferansiyel denklem ele alınmaktadır. Bu denklemin çözümlerinin üstel olarak kararlı olmasının sağlayan ve yeter koşullar içeren yeni bir teorem Lyapunov – Krasovskiĭ fonksiyonel metodu yardımı ile ispatlanmaktadır. Son olarak, tezin altıncı bölümünde ise, ikinci basamaktan çoklu sabit gecikmeli lineer olmayan bir impalsif integro- diferansiyel denklem ele alınmaktadır. Bu denklemin çözümlerinin üstel olarak kararlı olmasının sağlayan ve yeter koşullar içeren yeni bir teorem Lyapunov – Krasovskiĭ fonksiyonel metodu yardımı ile ispatlanmaktadır. Bu tezin beşinci ve altıncı bölümlerindeki sonuçları ispatlamak için iki yeni Lyapunov – Krasovskiĭ fonksiyoneli tanımlanıp ve bu fonksiyonlar söz konusu ispatlarda temel araç olarak kullanılmaktadır.

ABSTRACT The aim of this master thesis is to study the impulsive exponential stabilization of some problems of specific nonlinear impulsive delay differential and impulsive delay integro-differential equations. In the present thesis, two mathematical models such as nonlinear impulsive delay differential and impulsive delay integro-differential equations are considered. Here, we consider new impulsive mathematical models, which have more general forms than that can be found in a paper of the present literature, and generalize the results of that paper. In this thesis project, to achieve the aim of the present thesis, two new Lyapunov-Krasovskiĭ functionals are defined as the main tools. Hence, Lyapunov – Krasovskiĭ functional method is used to prove the new results of the thesis. This thesis study involves six chapters. The first chapter of the present thesis is given under the title “Introduction”. In this chapter, some brief information is given with regard to the significance of impulsive differential equations, their historical development, the importance of impulsive differential equations in applications, impulsive problems to be discussed in the thesis and the method to be used throughout this thesis. The 2. Chapter of this thesis is arranged under the title as “Literature Review”. In this chapter, some papers and basic books, which are related to the content of the thesis and can be reached in the pertaining literature are given. In 3. Chapter of the present thesis, the materials and methods to be utilized in this thesis are given. In Chapter 4 of the present thesis, some basic definitions in relation to impulsive differential, some theorems pertaining to the existence and uniqueness of solutions and fundamental information are presented. In Chapter 5 of this thesis, a nonlinear impulsive differential equation including multiple constant delays is considered. Here, a new theorem which includes sufficient conditions for the exponentially stabilization of solutions of the considered equation is proved by using the Lyapunov–Krasovskiĭ functional method. Lastly, in Chapter 6 of this thesis, a nonlinear impulsive integro-differential equation including multiple constant delays is taken under consideration. In this chapter, a new theorem which includes sufficient conditions for the exponentially stabilization of solutions of the considered integro-differential equation is verified by help the Lyapunov–Krasovskiĭ functional method. In order to achieve the proofs of the results in Chapter 5 and Chapter 6 of this thesis, two new Lyapunov – Krasovskiĭ functionals are defined and thereby these Lyapunov – Krasovskiĭ functionals are utilized as the main tools in the proofs of the new results of this thesis.